1
2
3
4
5
6
7
8
9
9a
10
11
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9a
10
11
|
Seiten-Übersicht |
Hier soll nur ein grober Überblick über die DGL der Biegelinie gegeben werden. Wer Genaueres über die Herleitung wissen will, sei auf die Festigkeitslehre der Mechanik verwiesen.
Aus der Mechanik sind die folgenden Differentialgleichungen für die Schnittgrößen Q, M (Querkraft und Moment) und die Verformungsgrößen ψ, w (Verdrehung und Verschiebung) bekannt.
| M'' = Q' = -q | (1) |
| M = EI ·ψ' | (2) |
| Q = κ · GA ( w' + ψ) | (3) |
Voraussetzung für die Gültigkeit dieser Gleichungen ist, dass die x-Achse der Balkenlängsachse entspricht und das Hookesche Gesetz gilt. Da wir von einem schubstarren Balken ausgehen (GA → ∞), die Querkraft aber endlich ist, folgt aus Gleichung (3):
(w' + ψ) = 0 ⇒ w' = -ψ (3a)
Ein Balkenelement eines schubstarren Balkens erfährt also keine Winkeländerung unter einer Querkraftbelastung. Man spricht hierbei von der Bernoulli-Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte. Das bedeutet anschaulich, dass Balkenquerschnitte, die vor der Deformation des Balkens senkrecht auf die Balkenachse standen, auch danach noch senkrecht auf der dann allerdings verformten Balkenachse stehen. Diese Annahmen sind eigentlich nur bei reiner Biegung (Q=0) exakt, aber bei schlanken Balken kann auch für veränderliche Biegemomente eine ausreichende Genauigkeit angenommen werden.
Durch Einsetzen der Gleichungen (3a) in (2), erhält man die Differentialgleichung der Biegelinie:
(4)
Man ist also in der Lage, sofern der Verlauf des Momentes M und die Biegesteifigkeit EI bekannt sind, durch Integration die Durchbiegung w(x) (Biegelinie) und die Neigung w'(x) der Balkenachse zu bestimmen. Über die Gleichung (1) kann durch weiteres Differenzieren auch noch der Zusammenhang mit der Querkraft Q und der Belastung q hergestellt werden. Bei der Integration zur Bestimmung der Biegelinie treten Integrationskonstanten auf, deren Bestimmung über Randbedingungen erfolgen muss.
