1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Seiten-Übersicht

Gleichgewicht am verformten System - Teil 2

Beispiel:

Wie durch das Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen am verformten System die Stabilität eines Stabes untersucht werden kann, soll am Beispiel eines starren Stabes verdeutlicht werden, der am unteren Ende mit einer Drehfeder mit der Federsteifigkeit c gehalten ist. Der Stab kann sich nicht verbiegen, sondern sich nur um das untere Lager drehen. Die Drehfeder wirkt dabei einer Verdrehung entgegen. Unser Ziel ist herauszufinden, bei welcher Kraft F_ki der Stab in jeder beliebigen ausgelenkten Lage verharrt, in die er gebracht wird.

Die Drehfeder bewirkt bei einer Verdrehung des Stabes um den Winkel φ ein rückdrehendes Moment der Größe M = c · φ, dies ist das zur Drehfeder gehörende Federgesetz. Der Winkel φ wird im Bogenmaß gemessen und hat die Einheit rad. Die Federkonstante c hat demnach die Einheit kNm / rad.

Zur Untersuchung der Stabilität, soll nun genauso vorgegangen werden, wie auf der vorherigen Seite beschrieben.

1. Den Stab in verformten Zustand und mit sämtlichen angreifenden und resultierenden Kräften und Momenten darstellen. Die Druckkraft auf den Stab als Variable betrachten.
   
   
2. Die Gleichgewichtsbedingungen (ΣH = 0, ΣV = 0, ΣM = 0) für den verformten Stab aufstellen.
   Aus der Gleichgewichtsbedingung in vertikaler Richtung ΣV = 0 ergibt sich, dass die Auflagerkraft A der Druckkraft F auf den Stab entspricht, da keine weiteren vertikalen Kräfte am System angreifen.
   ΣV = 0: A - F = 0 ⇒ A = F
   Diese Aussage ist für die Untersuchung der Stabilität allerdings relativ uninteressant. Die Gleichgewichtsbedingung in horizontaler Richtung ΣH = 0 fällt ganz weg, da es keine horizontalen Kräfte am System gibt. Es bleibt also nur noch die Möglichkeit ein Momentengleichgewicht aufzustellen. Es soll um den unteren Punkt des Stabes im Uhrzeigersinn gedreht werden. Die Summe der Momente muss Null ergeben. Die Kraft F dreht mit dem Hebelarm w in positiver Richtung um den Punkt und das Moment aus der Drehfeder dreht dagegen.
   ΣM = 0: F · w - M = 0 (1)
   
3. Die Druckkraft F auf den Stab so bestimmen, dass die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind und indifferentes Gleichgewicht herrscht.
   Über das Federgesetz wissen wir, dass M = c · φ ist und aus der Geometrie kennen wir w = L · sin φ. Setzt man diese beiden Gleichungen in das Momentengleichgewicht (1) ein, erhält man:
   F · L · sinφ - c · φ = 0 (2)
   Außerdem soll davon ausgegangen werden, dass es sich bei φ um einen kleinen Winkel handelt, für den gilt sin φ ≈ φ.
   Genaueres zu dieser Vereinfachung gibt es.
   Eingesetzt in (2) folgt daraus:
   (F · L - c) · φ = 0
   Diese Gleichung hat nur zwei mögliche Lösungen, es muss entweder φ oder der Klammerinhalt verschwinden. Für den gesuchten Grenzfall (indifferentes Gleichgewicht) darf die Auslenkung φ jede beliebige Größe annehmen und bleibt somit variabel. Aus diesem Grund muss der Klammerinhalt gleich Null gesetzt werden, um die zum indifferenten Zustand gehörende Knicklast zu bestimmen.
4. Die in Punkt 3 bestimmte Druckkraft ist die kritische Knicklast F_ki des Stabes, wird F > F_ki tritt Stabilitätsversagen ein.
   F · L - c = 0
   Wir haben also die Druckkraft, bei der genau indifferentes Gleichgewicht herrscht, gefunden. Wird die Last höher als diese kritische Marke, so wird der Stab seitlich ausbrechen, sobald die geringste Störung seiner labilen senkrechten Gleichgewichtslage auftritt. Ist die Druckkraft aber geringer als F_ki, so ist der Stab stabil und dreht sich immer in seine Ausgangslage zurück. Man kann nun für jede Druckkraft angeben, in welcher Gleichgewichtslage sich der Stab befindet.

Wiederholung der Gleichgewichtslagen:
Ein weiteres Beispiel gibt es hier: